Perbandingan ukuran bilangan real merupakan dasar dari logika matematika secara keseluruhan. Pada garis bilangan, bilangan real berkorespondensi satu-satu dengan titik. Dengan mengamati posisi titik, kita dapat secara intuitif memahami konsep "ketidaksamaan".
Fakta Dasar:
Fakta Dasar:
- Jika $a-b$ adalah bilangan positif, maka $a>b$;
- Jika $a-b$ sama dengan 0, maka $a=b$;
- Jika $a-b$ adalah bilangan negatif, maka $a< b$.
Sifat Inti Ketidaksamaan:
1. Sifat Transitif: $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. Sifat Penambahan: $a > b \iff a + c > b + c$
3. Sifat Perkalian: $c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
1. Sifat Transitif: $a > b, b > c \Rightarrow a > c$
2. Sifat Penambahan: $a > b \iff a + c > b + c$
3. Sifat Perkalian: $c > 0 \Rightarrow ac > bc$; $c < 0 \Rightarrow ac < bc$
$$a > b \iff a - b > 0$$
1. Kumpulkan semua suku polinomial: satu persegi x², tiga batang persegi panjang x, serta dua persegi satuan 1x1.
2. Mulai menyusun mereka secara geometris.
3. Mereka membentuk persegi panjang yang lebih besar secara utuh! Lebar adalah (x+2), tinggi adalah (x+1).
PERTANYAAN 1
Manakah di antara pernyataan berikut yang salah mengenai pemodelan hubungan ketidaksamaan?
Kecepatan maksimum di jalan tertentu $40\text{ km/h}$ dinyatakan sebagai $v \le 40$
Kandungan lemak yogurt $f$ tidak kurang dari $2.5\%$ dinyatakan sebagai $f > 2.5\%$
Jumlah dua sisi segitiga lebih besar daripada sisi ketiga dinyatakan sebagai $a+b > c$
Panjang garis tegak lurus $d_{\text{tunggal}}$ tidak lebih besar daripada panjang garis miring $d_{\text{miring}}$, dinyatakan sebagai $d_{\text{tunggal}} \le d_{\text{miring}}$
Benar! 'Tidak kurang dari' berarti 'lebih besar atau sama dengan', seharusnya dinyatakan sebagai $f \ge 2.5\%$.
Perhatikan kata kunci: 'tidak kurang dari' mencakup kondisi sama. Silakan periksa kembali makna simbol pada setiap opsi.
PERTANYAAN 2
Hasil perbandingan ukuran $(x+3)(x+7)$ dan $(x+4)(x+6)$ adalah:
$(x+3)(x+7) > (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) = (x+4)(x+6)$
$(x+3)(x+7) < (x+4)(x+6)$
Tidak dapat ditentukan, tergantung nilai $x$
Benar. Dengan metode pengurangan: $(x^2+10x+21) - (x^2+10x+24) = -3 < 0$, sehingga suku pertama lebih kecil dari suku kedua.
Petunjuk: Gunakan metode pengurangan. Setelah menguraikan dua polinomial, kurangi keduanya dan amati suku konstantanya.
PERTANYAAN 3
Pembuktian sifat ketidaksamaan 1, 3, 4, 6 didasarkan pada dasar teori paling mendasar:
Fakta dasar perbandingan ukuran bilangan real ($a>b \iff a-b>0$)
Simetri dan transitivitas persamaan
Monoton fungsi
Hubungan luas bentuk geometri
Benar. Semua sifat dasar ketidaksamaan diperoleh melalui metode pengurangan dan berdasarkan sifat positif dan negatif operasi bilangan real.
Ingat kembali awal pelajaran: semua penurunan sifat dimulai dari tanda positif atau negatif dari $a-b$.
PERTANYAAN 4
Jika $x$ adalah bilangan real, syarat agar $\sqrt{x^2+x-12}$ bernilai benar adalah:
$x > 3$ atau $x < -4$
$x \ge 3$ atau $x \le -4$
$-4 \le x \le 3$
$x \in \mathbf{R}$
Benar. Ekspresi akar kuadrat bernilai jika bilangan di dalam akar tidak negatif, yaitu $x^2+x-12 \ge 0$. Penyelesaian memberikan $(x+4)(x-3) \ge 0$, sehingga $x \ge 3$ atau $x \le -4$.
Bilangan di dalam akar kuadrat harus memenuhi $\ge 0$. Ini merupakan masalah ketidaksamaan kuadrat satu variabel.
PERTANYAAN 5
Jika $a>b$ dan $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, maka pasti berlaku:
$ab > 0$
$ab < 0$
$a > 0, b < 0$
$a < 0, b > 0$
Benar. Dari $\frac{1}{a} - \frac{1}{b} > 0$ diperoleh $\frac{b-a}{ab} > 0$. Karena $a>b$, maka $b-a<0$. Agar pecahan lebih besar dari 0, penyebut $ab$ harus lebih kecil dari 0.
Petunjuk: Lakukan penyamaan penyebut dan pengurangan pada $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$, lalu gunakan tanda $a-b$ untuk menentukan tanda positif atau negatif dari penyebut $ab$.
PERTANYAAN 6
Jika $a, b > 0$, dan $ab = a+b+3$, tentukan rentang nilai $ab$.
$ab \ge 4$
$ab \ge 9$
$ab > 3$
$ab \ge 6$
Benar. Dari $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ diperoleh $ab-3 \ge 2\sqrt{ab}$. Misalkan $t=\sqrt{ab}$, maka $t^2-2t-3 \ge 0 \Rightarrow t \ge 3$, sehingga $ab \ge 9$.
Gunakan ketidaksamaan dasar $a+b \ge 2\sqrt{ab}$ untuk melakukan substitusi transformasi.
PERTANYAAN 7
Mengenai sifat ketidaksamaan, pernyataan mana yang benar?
Jika $a>b, c>d$, maka $ac > bd$
Jika $a>b$, maka $ac^2 > bc^2$
Jika $a>b>0$, maka $\frac{1}{a^2} < \frac{1}{b^2}$
Jika $a>b, c< d$, maka $a-c < b-d$
Benar. Karena $a^2 > b^2 > 0$, setelah mengambil invers, arah ketidaksamaan berubah.
Opsi A tidak memiliki asumsi bilangan positif; Opsi B saat $c=0$ hasilnya sama; Opsi D seharusnya $a-c > b-d$.
PERTANYAAN 8
Diketahui $a > b$, buktikan langkah logika yang benar untuk $\frac{a+b}{2} > b$ adalah:
Karena $a > b$, maka $a+b > 2b$, sehingga $\frac{a+b}{2} > b$
Karena $b < a$, maka $\frac{a}{2} < b$, sehingga tidak berlaku
Diperoleh langsung dari ketidaksamaan dasar
Hanya saat $a=b$ maka terjadi kesamaan
Benar. Gunakan sifat 3 (penambahan): tambahkan $b$ ke kedua sisi $a>b$ sehingga diperoleh $a+b>2b$, lalu gunakan sifat 4 (perkalian) bagi dengan 2.
Ini adalah penalaran sederhana berdasarkan sifat penambahan ketidaksamaan.
PERTANYAAN 9
Di sebuah jalan raya tertentu, tinggi total kendaraan dan muatannya $h$ tidak boleh melebihi $4\text{m}$, representasi matematisnya adalah:
$h < 4$
$h \le 4$
$h > 4$
$0 < h \le 4$
Benar. 'Tidak boleh melebihi' mencakup kemungkinan sama dengan 4. Meskipun secara fisik $h>0$, deskripsi murni matematis adalah $h \le 4$.
Kata kunci: 'tidak boleh melebihi'.
PERTANYAAN 10
Bandingkan luas lingkaran (keliling $L$) dan persegi (keliling $L$), yaitu $S_1$ dan $S_2$:
$S_1 = S_2$
$S_1 > S_2$
$S_1 < S_2$
Tidak dapat dibandingkan, bergantung pada nilai $L$
Benar. $S_1 = L^2/4\pi$, $S_2 = L^2/16$. Karena $4\pi \approx 12.56 < 16$, semakin kecil penyebut, nilainya semakin besar, sehingga luas lingkaran lebih besar.
Hitung dan bandingkan ukuran $\frac{L^2}{4\pi}$ dan $\frac{L^2}{16}$.
Tantangan: Desain Optimal Biaya Bak Penampung Air
Pemodelan dan Penerapan Gabungan Ketidaksamaan
Untuk membuat bak penampung air tanpa tutup berbentuk balok dengan volume $1200 \text{ m}^3$ dan kedalaman $6 \text{ m}$. Biaya dinding adalah 95 yuan/$\text{m}^2$, biaya dasar adalah 135 yuan/$\text{m}^2$. Bagaimana merancang panjang dan lebar bak agar total biaya tetap di bawah 70 ribu yuan?
Tugas 1
Bangun model ketidaksamaan antara biaya total $y$ dan panjang sisi alas $x$.
Misalkan panjang salah satu sisi alas adalah $x$ meter, maka sisi lainnya adalah $\frac{1200/6}{x} = \frac{200}{x}$ meter.
Luas dasar bak adalah $200 \text{ m}^2$, biayanya adalah $200 \times 135 = 27000$ yuan.
Luas total dinding adalah $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$.
Biaya total $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$.
Syarat $y \le 70000$.
Luas dasar bak adalah $200 \text{ m}^2$, biayanya adalah $200 \times 135 = 27000$ yuan.
Luas total dinding adalah $2 \times (x \times 6 + \frac{200}{x} \times 6) = 12(x + \frac{200}{x})$.
Biaya total $y = 27000 + 95 \times 12(x + \frac{200}{x}) = 27000 + 1140(x + \frac{200}{x})$.
Syarat $y \le 70000$.
Tugas 2
Selesaikan ketidaksamaan, tentukan rentang nilai panjang dan lebar (teliti hingga $0.1 \text{ m}$).
$27000 + 1140(x + \frac{200}{x}) \le 70000$
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
Setelah disederhanakan: $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$.
Dengan rumus akar diperoleh $x \approx 6.4$ atau $x \approx 31.3$.
Maka rentang panjang dan lebar harus berada di antara $6.4 \text{ m}$ dan $31.3 \text{ m}$.
$1140(x + \frac{200}{x}) \le 43000 \Rightarrow x + \frac{200}{x} \le \frac{4300}{114} \approx 37.72$
Setelah disederhanakan: $x^2 - 37.72x + 200 \le 0$.
Dengan rumus akar diperoleh $x \approx 6.4$ atau $x \approx 31.3$.
Maka rentang panjang dan lebar harus berada di antara $6.4 \text{ m}$ dan $31.3 \text{ m}$.
✨ Poin Utama
Metode Pengurangan,Tentukan Tanda Positif/Negatif,Hubungan UkuranTerlihat Jelas.Kalikan dengan Bilangan Negatif,Ubah Tanda,Logika KetatJangan Lewatkan!
💡 Tiga Tahap Metode Pengurangan
Langkah pertama 'pengurangan', langkah kedua 'transformasi' (sering melalui faktorisasi atau kuadrat sempurna), langkah ketiga 'tentukan tanda'.
💡 Hati-hati dengan Bilangan Negatif!
Ketika mengalikan atau membagi kedua sisi ketidaksamaan dengan bilangan negatif, pastikan untuk mengubah arah tanda ketidaksamaan. Ini adalah bagian yang paling sering salah.
💡 Syarat Ketidaksamaan Dasar
Penggunaan $\sqrt{ab} \le \frac{a+b}{2}$ harus memenuhi: satu positif ($a,b > 0$), dua tetap (hasil kali atau jumlah bernilai konstan), tiga sama (kesamaan terjadi saat $a=b$).
💡 Berpikir Ekuivalensi
$a>b \iff a-b>0$ bersifat ekuivalensi dua arah, sering digunakan sebagai langkah pertama dalam transformasi dalam soal pembuktian.
💡 Konversi Bahasa Sehari-hari
‘Paling banyak’ sesuai dengan $\le$, ‘Paling sedikit’ sesuai dengan $\ge$, ‘Melebihi’ sesuai dengan $>$, ‘Kurang dari’ sesuai dengan $<$.